Préchauffer le four à 350°F. Graissé et enfariné légèrement un moule carré de 8 pouces. Dans un petit bol, verser le babeurre sur les flocons d'avoine et le son d'avoine.
Laisser reposer 10 minutes. Dans un bol de grandeur moyenne, défaire le beurre en crème avec le sucre. Ajouter l'oeuf et la vanille en remuant.
Y incorporer les bananes et le mélange de babeurre. Passer la farine, le bicarbonate et la poudre a pâte au tamis. Incorporer au mélange de bananes. Bien remuer.
Verser la pâte dans un moule carré de 8 po légèrement graissé et enfariné.
Cuire au four 45 minutes ou jusqu'à ce qu'un cure-dents inséré au centre en ressorte propre. Laisser reposer 5 minutes.
Entre-temps, dans une petite casserole, mélanger le sucre, le babeurre, le beurre et le bicarbonate et cuire a feu moyen.
Porter au point d'ébullition. À l'aide d'un cure-dents ou d'une tige métallique, percer la surface du gâteau. Verser le glaçage sur le gâteau pendant qu'il est encore chaud.