Lavez, pelez et coupez en cubes les carottes. Epluchez et émincez l'oignon, faites de même avec l'ail.
Dans une poêle, faites revenir l'ail et l'oignon pendant 5 minutes, ajoutez les cubes de carotte et faites mijotez pendant 15 minutes sur feu doux. Au bout de 10 minutes de cuisson, versez le vinaigre balsamique (et sentez l'odeur de caramel qui se dégage!).
Versez le tout dans un plat à gratin. Coupez le chèvre en parcelles et répartissez-le sur les carottes. Parsemez de gruyère râpé.