Mélanger la mayonnaise et le pesto de tomates séchées. Réfrigérer.
Dans un bol, mélanger le veau haché, le persil, l'estragon, l'ail, l'échalote et la moutarde. Assaisonner. Façonner 4 galettes et réfrigérer.
Préchauffer le barbecue à feu vif. Badigeonner les quartiers de poivron d'huile d'olive, saler et faire griller environ 10 minutes en prenant soin de les retourner à quelques reprises. Réserver.
Assaisonner les galettes de veau de chaque côté, déposer sur la grille très chaude, diminuer l'intensité du feu à modérée et faire griller de 8 à 10 minutes en les retournant une fois en cours de cuisson.
Déposer une tranche de fromage sur chacune des galettes et faire fondre de 1 à 2 minutes. Faire griller les pains, badigeonner de la sauce aux tomates séchées, déposer les champignons tranchés et la galette de veau.
Garnir chaque burger de poivron, couvrir de laitue. Si désiré, accompagner de patates grillées.