Laver les courgettes. Couper les chapeaux et réserver. Avider délicatement l'intérieur à l'aide d'une petite cuillère. Remmetre les chapeaux.
Enfourner dans plus à gratin avec un d'huile dans le fond pendant une vingtaine de minutes.
Pendant ce temps, préparer les œufs brouillés : Porter à ébullition, dans une petite casserole, 25 cl de crème. Laisser réduire légèrement puis retirer du feu. Ajouter les feuilles de basilic, le sel et le poivre. Laisser infuser 15 minutes puis mixer le tout. Garder au chaud.
Foutter la crème restant en chantilly. Battre les œufs en omelette. Saler, poivrer.
Faire chauffer doucement 5 cl d'eau avec le beurre. Y verser les œufs. Laisser prendre sans cesser de mélanger et en faisant attention de ne pas faire trop cuire. Retirer du feu.
Ajouter délicatement la chantilly. Détailler le Cantal en morceaux. Remplir les courgettes précuites en alternant œufs brouillés en terminant par un copeau de Cantal. Remettre les chapeaux. Enfourner 5 6 minutes. Servir à part le reste de crème au basilic.