Note: si vous n'avez pas de pommes de terre bouillies sous la main, préparez-les en plaçant 300 g de pommes de terre pelées et coupées en gros cubes dans une casserole, couvrez d'eau, porter à ébullition puis baisser le feu et laisser cuire environ 15 minutes (un couteau doit pouvoir s'enfoncer sans résistance dans la chair). Égoutter les pommes de terre en récupérant l'eau de cuisson pour la pétrissez. Si vous utilisez des pommes de terre bouillies d'avance d'un reste de repas, utilisez de l'eau du robinet.
Écraser les pommes de terre avec un presse-purée ou une fourchette de manière à obtenir une purée fine sans morceaux. Laisser tiédir l'eau de cuisson si vous l'utilisez.
Dans un grand saladier, mélanger la farine avec la levure puis ajouter le sel et le sucre. Creuser un puits, verser la purée de pommes de terre, l’œuf, l'eau et le beurre mou écrasé en morceaux. Malaxer la pâte en commençant avec une cuillère en bois puis avec la main pour amalgamer tous les ingrédients.
Dès que la pâte forme une boule collante, la verser sur le plan de travail légèrement fariné et la pétrir une bonne dizaine de minutes en ajoutant 1 cuillère à soupe de farine à la fois pour aider à décoller la pâte du plan de travail, jusqu'à ce qu'elle soit lisse et élastique.
Huiler légèrement un saladier, y transvaser la pâte en boule en la retournant de tous côtés pour recouvrir sa surface d'huile. Couvrir avec du film alimentaire et un torchon de cuisine et laisser reposer environ 1 heure ou jusqu'à ce que la pâte double de volume.
Écraser la pâte avec le plat de la main pour dégazer, couvrir et laisser détendre 10 minutes. Transvaser la pâte sur le plan de travail légèrement fariné. Diviser en 24 morceaux de même poids (environ 50 g) pour des petits pains apéritifs ou en 10 morceaux de 120 g pour des pains sandwich).
Façonner chaque morceau en boule régulière, aplatir un peu la surface et déposer sur une (ou deux) plaque(s) de cuisson huilée(s) ou garnie(s) de papier sulfurisé en veillant à les espacer suffisamment. Saupoudrer d'un voile de farine tamisée, couvrir avec un torchon de cuisine et laisser reposer 45 minutes environ.
Préchauffer le four th 6 (180°C). Enfourner et cuire 18 à 20 minutes ou jusqu'à ce que la surface soit dorée et que les pains sonnent creux lorsqu'on tape le dessous. Refroidir sur une grille.